fxp
שחזור סיסמה הרשמה
  • הודעות
  • אשכולות
  • רשומים
  • מחוברים כרגע
הרשמה לאתר
עזרה|

ירידה ועלייה של פונקציות פולינום עם פרמטרים (5 יח''ל עולה ל-י''א)

  1. 03-08-2010 02:42 #1
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    נגיד שיש לי פונקציית פולינום עם פרמטר אחד (לצורך העניין m), איך אפשר לדעת לאילו ערכים של m הפונקציה עולה/יורדת לכל x.

    תודה רבה לעוזרים

  2. 03-08-2010 12:31 #2
    תאריך הצטרפות
    01-03-06
    הודעות
    562
    הדרך הטובה ביותר לדעת אם פונקציה עולה או יורדת זה להסתכל על הנגזרת שלה, במידה והנגזרת חיובית הרי שהפונקציה עולה, במידה והיא שלילית הרי שהפונקציה יורדת.
    מובן שהעליה\ירידה יכולה להיות גם תלויה בX ולא רק בפרמטר, למעשה רק קו לינארי הוא פונקציה מסוג פולינום (סדר ראשון) העולה או יורד לכל X, לפולינומים מסדרים גבוהים יותר קימים תחומי עליה ותחומי ירידה.

  3. 03-08-2010 17:46 #3
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    ציטוט פורסם במקור על ידי Walking_On_Sunshine צפה בהודעה
    הדרך הטובה ביותר לדעת אם פונקציה עולה או יורדת זה להסתכל על הנגזרת שלה, במידה והנגזרת חיובית הרי שהפונקציה עולה, במידה והיא שלילית הרי שהפונקציה יורדת.
    מובן שהעליה\ירידה יכולה להיות גם תלויה בX ולא רק בפרמטר, למעשה רק קו לינארי הוא פונקציה מסוג פולינום (סדר ראשון) העולה או יורד לכל X, לפולינומים מסדרים גבוהים יותר קימים תחומי עליה ותחומי ירידה.
    אתה אכן צודק.
    אין באפשרותך לעזור לי כי לא פירטתי את התרגיל אז הנה הוא
    y=(1/3)mx^3-(m+2)x^2+9x


    אז כמו שאמרתי צריך להגיד לאילו ערכי m לכלערך x הפונקציה עולה.

    (ספר מתמטיקה 5 יחידות לימוד חלק ו' שאלון 035006 (ספר כתום ירוק) עמ' 460 תרגיל 19).

    אני אישית ניסיתי להשוות את הנגזרת לאפס ובכך למנוע את האפשרות שיהיו נקודות קיצון, וגם שהמקדם של x^3 יהיה חיובי כדי שהפונקציה תעלה לכל x (בספר הזה מחשיבים את הפונקציה x^3 כעולה לכל x למרות נקודת הפיתול באמצע) אך התוצאה יוצאת מסורבלת ולא מתקרבת לפיתרון.

    התשובה לתרגיל היא ש m צריך להיות גדול שווה מ-1 וקטן שווה מ-4

  4. 03-08-2010 18:01 #4
    _Avishay_ מנותק מפקח קטגוריית לימודים והשכלה לשעבר.
    בן
    תאריך הצטרפות
    25-04-09
    שם פרטי
    אבישי
    הודעות
    15,733
    אני מקווה שזה נכון:

    נערך לאחרונה על ידי _Avishay_, 03-08-2010 בשעה 18:16

  5. 03-08-2010 18:34 #5
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    אני מקווה שזה נכון:

    קודם כל תודה רבה על העזרה
    לא ממש הבנתי מה עשית, הבנתי שבשורה השלישית ניסית לראות מתי הנגזרת, גדולה או שווה ל-0 כלומר מתי שהפונקציה היא במצב של עלייה.
    אבל לאחר מכן לא הבנתי מה ניסית לעשות עם הדלתא.
    אם כבר היית משתמש בנוסחת שורשים כדי למצוא את הפתרונות למשוואה בשורה השלישית ולפיהם למצוא את התחום של ה-m הרצוי.
    לפי מה שידוע לי התפקיד היחידי של הדלתא זה להראות כמה פתרונות יש למשוואה.

    ובכן אני לא פוסל את דרך הפתרון שלך, רק אשמח אם תסביר לי מה ניסית לעשות.
    נערך לאחרונה על ידי null1230, 03-08-2010 בשעה 18:35

  6. 03-08-2010 18:45 #6
    _Avishay_ מנותק מפקח קטגוריית לימודים והשכלה לשעבר.
    בן
    תאריך הצטרפות
    25-04-09
    שם פרטי
    אבישי
    הודעות
    15,733
    בשורה השלישית אתה מגיע לאי שוויון ריבועי עם פרמטרים. כדי שהנגזרת תהיה גדולה מ-0(שים לב שזה אי שוויון ריבועי) אז צריך לראות מתי הa חיובי ומתי אין פתרונות. כדי שלא יהיו פתרונות רואים מתי הדלתא קטנה מ-0 וכדי שה-a יהיה גדול מ-0 צריך שM>0 (שכחתי לכתוב שמה, בכ"מ זה לא סתר את הפתרונות).
    נערך לאחרונה על ידי _Avishay_, 03-08-2010 בשעה 18:48

  7. 03-08-2010 22:09 #7
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    בשורה השלישית אתה מגיע לאי שוויון ריבועי עם פרמטרים. כדי שהנגזרת תהיה גדולה מ-0(שים לב שזה אי שוויון ריבועי) אז צריך לראות מתי הa חיובי ומתי אין פתרונות. כדי שלא יהיו פתרונות רואים מתי הדלתא קטנה מ-0 וכדי שה-a יהיה גדול מ-0 צריך שM>0 (שכחתי לכתוב שמה, בכ"מ זה לא סתר את הפתרונות).
    הא הבנתי,
    בעצם צריך שלא יהיו פתרונות כדי שלא יהיו נקודות קיצון חוץ מנקודות פיתול
    וצריך ש ה-a יהיה חיובי כדי שהפונקציה תהיה במצב של עלייה.
    נכון?

  8. 03-08-2010 22:12 #8
    _Avishay_ מנותק מפקח קטגוריית לימודים והשכלה לשעבר.
    בן
    תאריך הצטרפות
    25-04-09
    שם פרטי
    אבישי
    הודעות
    15,733
    ^ לא ממש, פשוט ככה פותרים אי שוויון ריבועי. לא הקשבת בשיעורים השנה?
    נערך לאחרונה על ידי _Avishay_, 03-08-2010 בשעה 22:18

  9. 03-08-2010 22:20 #9
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    אני יודע איך לפתור אי שיוויון ריבועי אני פשוט לא מבין מה אמורים להיות התנאים כדי שהפונקציה תעלה לכל-x
    לפי דעתי אם יהיו נקודות קיצון יווצר מצב שהפונקציה גם תרד בחלק מערכי ה-x.
    נערך לאחרונה על ידי null1230, 03-08-2010 בשעה 22:21

  10. 03-08-2010 23:14 #10
    _Avishay_ מנותק מפקח קטגוריית לימודים והשכלה לשעבר.
    בן
    תאריך הצטרפות
    25-04-09
    שם פרטי
    אבישי
    הודעות
    15,733
    ^ זה לא רק לדעתך, ככה זה. נקודת קיצון זאת הנקודה הכי נמוכה/גבוהה בשלב מסוים בפונקציה, אז מין הסתם שאם יש נקודת קיצון יהיה שינוי בעלייה/ירידה. התנאי לכך שפונקציה תעלה לכל X הוא f'(x)>=0, אז אחרי שאתה גוזר אתה רואה מתי הנגזרת גדולה או שווה ל-0, מה שייוצר לך בשאלה הזאת אי שוויון ריבועי עם פרמטרים. אתה פותר ורואה עבור אילו ערכי m הפונקציה עולה לכל X.

  11. 04-08-2010 00:06 #11
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    ^ זה לא רק לדעתך, ככה זה. נקודת קיצון זאת הנקודה הכי נמוכה/גבוהה בשלב מסוים בפונקציה, אז מין הסתם שאם יש נקודת קיצון יהיה שינוי בעלייה/ירידה. התנאי לכך שפונקציה תעלה לכל X הוא f'(x)>=0, אז אחרי שאתה גוזר אתה רואה מתי הנגזרת גדולה או שווה ל-0, מה שייוצר לך בשאלה הזאת אי שוויון ריבועי עם פרמטרים. אתה פותר ורואה עבור אילו ערכי m הפונקציה עולה לכל X.
    קודם כל סליחה על החפירה חחח
    אבל כמו שאתה אומר, ואני מסכים איתך ב-100% זה שצריך לפתור את האי שיוויון: f’(x)>=0 .

    לפי מה שלמדנו בבית הספר, כדי לפתור אי שיוויון ריבועי צריך קודם כל להשוות את האי שיוויון ל-0 ואז למצוא את הפתרונות בעזרת נוסחת שורשים שהיא: (מינוס b פלוס/מינוס שורש דלתא)חלקי (2a).
    לאחר מכן לקחת את שתי התואות שהתקבלו מנוסחת השורשים ולפיהם למצוא את התחום הרצוי של-m.

    לעומת זאת מה שאתה עשית זה שבאי שיוויון הריבועי הוצאת רק את הדלתא, שאם היא חיובית יש 2 פתרונת, אם היא שווה לאפס יש פתרון אחד ואם היא שלילית אין פתרון.

    מה שאני מנסה להגיד זה שבמקום לפתור אי שיוויון ריבועי, הפכת את האי שיוויון הריבועי לשיוויון ריבועי ובאמצעות הדלתא מצאת מה התחום של m שבו לשיוויון הריבועי אין שתי פתרונות.

  12. 04-08-2010 00:24 #12
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    quote=avishay12456;60386293]^ זה לא רק לדעתך, ככה זה. נקודת קיצון זאת הנקודה הכי נמוכה/גבוהה בשלב מסוים בפונקציה, אז מין הסתם שאם יש נקודת קיצון יהיה שינוי בעלייה/ירידה. התנאי לכך שפונקציה תעלה לכל X הוא f'(x)>=0, אז אחרי שאתה גוזר אתה רואה מתי הנגזרת גדולה או שווה ל-0, מה שייוצר לך בשאלה הזאת אי שוויון ריבועי עם פרמטרים. אתה פותר ורואה עבור אילו ערכי m הפונקציה עולה לכל X.[/quote]
    קודם כל סליחה על החפירה חחח
    אבל כמו שאתה אומר, ואני מסכים איתך ב-100% זה שצריך לפתור את האי שיוויון: f’(x)>=0 .

    לפי מה שלמדנו בבית הספר, כדי לפתור אי שיוויון ריבועי צריך קודם כל להשוות את האי שיוויון ל-0 ואז למצוא את הפתרונות בעזרת נוסחת שורשים שהיא: (מינוס b פלוס/מינוס שורש דלתא)חלקי (2a).
    לאחר מכן לקחת את שתי התואות שהתקבלו מנוסחת השורשים ולפיהם למצוא את התחום הרצוי של-m.

    לעומת זאת מה שאתה עשית זה שבאי שיוויון הריבועי הוצאת רק את הדלתא, שאם היא חיובית יש 2 פתרונת, אם היא שווה לאפס יש פתרון אחד ואם היא שלילית אין פתרון.

    מה שאני מנסה להגיד זה שבמקום לפתור אי שיוויון ריבועי, הפכת את האי שיוויון הריבועי לשיוויון ריבועי ובאמצעות הדלתא מצאת מה התחום של m שבו לשיוויון הריבועי אין שתי פתרונות.

  13. 04-08-2010 00:27 #13
    _Avishay_ מנותק מפקח קטגוריית לימודים והשכלה לשעבר.
    בן
    תאריך הצטרפות
    25-04-09
    שם פרטי
    אבישי
    הודעות
    15,733
    תראה, בוא נייצג את הנגזרת בעזרת פרבולה. אנחנו רוצים שהפרבולה תהיה גדולה או שווה ל-0 נכון? כלומר, או שהיא מרחפת או שהיא חותכת את ציר הX בנקודה אחת, כלומר, או אין פתרון או פתרון אחד. במצב כזה אנחנו מחפשים את הדלתא, ורואים מתי היא קטנה או שווה ל-0(קטנה- אין פתרון, שווה- פתרון אחד). מה שאנחנו מקבלים זה אי שוויון ריבועי רגיל שמייצג את הדלתא- נראה מתי האי שוויון הזה קטן או שווה ל-0. איך אנחנו מוצאים את זה? נהפוך למשוואה ריבועית, נמצא את השורשים, נצייר פרבולה מתאימה(במקרה הזה ישרה) ונראה עבור אילו ערכי M היא קטנה או שווה ל-0, כלומר שלילית או על ציר הX. מצאנו את שורשי המשוואה שהם 1,4 עכשיו נצייר את הפרבולה ונבדוק:



    הפרבולה נמצאת מתחת לציר הX(קטנה מ-0) או נמצאת על ציר הX(שווה ל-0) עבור 4=>m<1<=m

    עכשיו אנחנו יודעים שעבור הערכים של M שציינתי מקודם הפרבולה הראשונה שקבענו(שייצגה את הנגזרת) תהיה מרחפת או שתחתוך את ציר הX בנקודה אחת- כלומר גדולה או שווה ל-0, שזה התנאי לפונקציה עולה לכל X.

    אני מקווה שעכשיו הכל ברור
    נערך לאחרונה על ידי _Avishay_, 04-08-2010 בשעה 00:29

  14. 04-08-2010 01:15 #14
    בן
    תאריך הצטרפות
    31-05-10
    הודעות
    3,641
    ציטוט פורסם במקור על ידי avishay12456 צפה בהודעה
    תראה, בוא נייצג את הנגזרת בעזרת פרבולה. אנחנו רוצים שהפרבולה תהיה גדולה או שווה ל-0 נכון? כלומר, או שהיא מרחפת או שהיא חותכת את ציר הX בנקודה אחת, כלומר, או אין פתרון או פתרון אחד. במצב כזה אנחנו מחפשים את הדלתא, ורואים מתי היא קטנה או שווה ל-0(קטנה- אין פתרון, שווה- פתרון אחד). מה שאנחנו מקבלים זה אי שוויון ריבועי רגיל שמייצג את הדלתא- נראה מתי האי שוויון הזה קטן או שווה ל-0. איך אנחנו מוצאים את זה? נהפוך למשוואה ריבועית, נמצא את השורשים, נצייר פרבולה מתאימה(במקרה הזה ישרה) ונראה עבור אילו ערכי M היא קטנה או שווה ל-0, כלומר שלילית או על ציר הX. מצאנו את שורשי המשוואה שהם 1,4 עכשיו נצייר את הפרבולה ונבדוק:



    הפרבולה נמצאת מתחת לציר הX(קטנה מ-0) או נמצאת על ציר הX(שווה ל-0) עבור 4=>m<1<=m

    עכשיו אנחנו יודעים שעבור הערכים של M שציינתי מקודם הפרבולה הראשונה שקבענו(שייצגה את הנגזרת) תהיה מרחפת או שתחתוך את ציר הX בנקודה אחת- כלומר גדולה או שווה ל-0, שזה התנאי לפונקציה עולה לכל X.

    אני מקווה שעכשיו הכל ברור
    הא הבנתי,
    בעצם בנקודות שהגרף של הנגזרת הוא גדול או שווה לאפס אז השיפוע בנקודה של גרף הפונקציה המקורי גם גדול או שווה לאפס.
    תודה רבה על המאמץ .

    ודרך אגב סתם מעניין אותי,
    האם לדעתך אפשר לפתור את התרגיל הזה גם בעזרת מציאת נקודות הקיצון בכך שמשווים את הנגזרת לאפס ואז מוצאים את הנקודות בהן הנגזרת שווה לאפס.
    לאחר שמוצאים את הנקודות להשוות אותן לאפס כך שכל הנקודות יהיו נקודות פיתול.
    לאחר מכן לוודא שה-a של הפונקציה המקורית (לא הנגזרת) גדול מאפס כדי שהפונקציה תהיה רציפה לכיוון ימין.
    נערך לאחרונה על ידי null1230, 04-08-2010 בשעה 01:23

  15. 04-08-2010 01:37 #15
    _Avishay_ מנותק מפקח קטגוריית לימודים והשכלה לשעבר.
    בן
    תאריך הצטרפות
    25-04-09
    שם פרטי
    אבישי
    הודעות
    15,733
    שמע, השעה עושה את שלה וכשאני קורא את מה שכתבת כל המילים מתערבבות לי ואני בקושי מצליח להבין משו. אם התכוונת למצוא נקודות קיצון ולראות עבור איזה M הן נקודות פיתול ולוודות שהפונקציה תמיד תישאר במגמת עלייה, אז כן, נשמע הגיוני אבל יותר מדי מסובך מפתרון פשוט יותר שיכול להיות לך. אם התכוונת למשו אחר אני אקרא שוב את התגובה בצהריים כשאני אהיה מפוקס יותר, בכ"מ הדרך הכי טובה לראות אם מה שאתה מציע נכון, היא לנסות ולהשוות את התשובות.

    שמחתי לעזור, לילה טוב

מקרא דרגות:  » יו"ר » מנכ"ל » מנהל ראשי » מפקח » מנהל פורום » צוות פרוייקטים » צוות סיקורים » משתמש כבוד » היכל התהילה » Champ » משקיען כבוד » Winner